Resumen:
A través de la luz podemos distinguir los diferentes colores de los
objetos. Estas experiencias se explican por medio de la electrodinámica cuántica. Aunque una descripción matemática de esta teoría está lejos del alcance de las posibilidades actuales, los procesos de emisión y absorción de fotones por átomos se pueden entender de manera matematicamente rigurosa en el límite de bajas energías. La descripción de la materia y la luz desde el punto de vista matemático involucra, naturalmente, ecuaciones diferenciales. Sin embargo, el ingrediente fundamental que permite entender los procesos de emisión y absorción de fotones es el estudio de eigenvalores sumergidos en el continuo de los operadores (no auto-adjuntos) que denen estas ecuaciones diferenciales.
Existen dos metodos para estudiar eigenvalores sumergidos en el
continuo: El primero (Bach-Froehlich-Sigal, 1998) es el grupo de renormalizacióon espectral y el segundo (Pizzo, 2003) es el análisis de escalas múltiples (para operadores auto-adjuntos).
El grupo de renormalización espectral se basa en una transformación (mapeo de renormalización) que permite intercambiar los operadores
antes mencionados por otros que son mas fáciles de estudiar. Esta
transformación se itera un número indeterminado de veces, resultando en una expresión cada vez más precisa de los eigenvalores. En nuestro trabajo definimos un nuevo mapeo de renormalización, por medio del cual se puede construir una transformacion infinitesimal. A través de esta última se obtiene un
flujo continuo de operadores que satisface una ecuación de evolución. La solución de esta ecuación hace posible
determinar de manera explícita los eigenvalores.
Se reporta también una extensión del análisis de escalas múltiples
al estudio de operadores no auto-adjuntos. Para esto se aportan nuevas técnicas que hacen posible el análisis sin la utilización de herramientas que son fundamentales, pero sólo válidas para operadores autoadjuntos (como el teorema espectral, por ejemplo).
Esta plática se basa en trabajos desarrollados en colaboracion con
Bach, Frohlich, Pizzo y Sigal.
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